로또 당첨 확률 완벽 분석 - 1등부터 5등까지 계산과 기대값

“814만분의 1”이라는 말은 누구나 들어봤지만, 그게 실제로 얼마나 작은 숫자인지, 2등부터 5등까지는 어떻게 되는지, 매주 사면 평생 한 번은 되는지를 정확히 아는 사람은 드뭅니다. 이 글은 로또 6/45의 등수별 확률을 계산 과정과 함께 보여 주고, 기대값과 ‘여러 장 사기’의 효과까지 숫자로 정리합니다.

1. 1등 확률 8,145,060분의 1은 어떻게 나오나

45개 숫자 중 6개를 순서 없이 고르는 경우의 수는 조합 공식 C(45, 6)으로 계산합니다.

C(45, 6) = 45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 ÷ (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 8,145,060

이 8,145,060가지 조합 중 추첨에서 나오는 조합은 단 하나이므로, 내 조합이 그것과 정확히 일치할 확률이 8,145,060분의 1입니다. 백분율로 쓰면 0.0000123%입니다. 어떤 조합을 고르든 — 1·2·3·4·5·6이든, 생일 조합이든, 자동이든 — 이 확률은 같습니다.

2. 등수별 확률 전체

각 등수의 당첨 조합 수는 이렇게 셉니다. 4등(4개 일치)은 당첨번호 6개 중 4개를 고르는 C(6,4)=15가지와, 나머지 2개를 비당첨 39개 중 고르는 C(39,2)=741가지를 곱한 11,115가지입니다. 5등은 C(6,3) × C(39,3) = 20 × 9,139 = 182,780가지. 3등은 5개 일치인데 나머지 1개가 보너스가 아닌 38개 중 하나여야 하므로 C(6,5) × 38 = 228가지, 2등은 나머지 1개가 보너스여야 하므로 C(6,5) × 1 = 6가지입니다.

표의 마지막 줄이 실용적입니다. 1게임을 샀을 때 어느 등수든 당첨될 확률은 약 2.38%, 즉 42게임에 한 번꼴입니다. 5게임(5,000원)을 사면 그중 하나라도 당첨될 확률이 약 11%이고, 그 당첨은 거의 전부 5등(5천원)입니다.

3. ‘814만분의 1’은 얼마나 작은가

숫자만으로는 감이 오지 않으니 다른 사건과 비교해 봅니다.

• 동전을 던져 23번 연속 앞면이 나올 확률(1/8,388,608)과 거의 같습니다. 한 번이라도 뒷면이 나오면 실패입니다.
• 한국 인구 약 5,100만 명 중에서 무작위로 6명을 뽑았을 때 특정 한 사람이 포함될 확률보다 낮습니다.
• 매주 1게임씩 사면 평균 156,000년에 한 번 1등이 됩니다. 매주 5게임이면 31,000년입니다.
• 그런데도 매주 1등이 평균 10명 넘게 나옵니다. 매 회차 수천만 게임이 팔리기 때문입니다. 최근 52회 평균 판매액은 회차당 약 607억원, 즉 약 6,073만 게임이며, 1등은 평균 15명이었습니다.

마지막 항목이 핵심입니다. “누군가는 된다”와 “내가 된다”는 완전히 다른 확률입니다. 6,000만 게임이 팔리면 1등이 7~8명 나오는 것은 확률상 당연하지만, 그 6,000만 게임 중 내 게임이 그것일 확률은 여전히 814만분의 1입니다.

4. 여러 장을 사면 확률이 얼마나 오르나

서로 다른 조합을 N게임 사면 1등 확률은 정확히 N배가 됩니다(같은 조합을 두 번 사면 확률은 그대로이고 당첨금만 2배). 다만 ‘평생 한 번’에 얼마나 가까워지는지 보면 다음과 같습니다.

매주 10만원어치를 30년 동안 사도 1등 확률은 2%에 못 미칩니다. 그 사이 지출은 1억 5,600만원입니다. 확률을 ‘의미 있게’ 올리는 유일한 방법은 수만 게임을 한 회차에 사는 것인데, 그 비용은 기대 당첨금을 훨씬 넘습니다.

5. 기대값 — 1,000원짜리 복권의 ‘진짜 값’

로또 판매액은 법에 따라 약 50%가 당첨금으로 돌아가고, 나머지 약 40%는 복권기금(공익사업), 약 10%는 운영·판매 수수료로 쓰입니다. 따라서 1게임 1,000원의 세전 기대값은 약 500원입니다. 1,000원을 낼 때마다 평균 500원을 돌려받는 게임이라는 뜻입니다.

이 500원의 대부분은 1등 당첨금에서 옵니다. 1등을 제외한 2~5등의 기대값만 계산하면 약 250원 남짓이고, 그중 5등(5천원 × 1/45 ≈ 112원)과 4등(5만원 × 1/733 ≈ 68원)이 절반을 넘습니다. 즉 “복권값의 절반은 돌아온다”는 말은 1등에 당첨되는 극소수까지 평균한 수치이고, 대다수 구매자가 실제로 돌려받는 몫은 훨씬 적습니다.

세금까지 넣으면 더 낮아집니다. 1등 당첨금의 약 3분의 1이 세금이므로 실수령 기준 기대값은 400원 안팎입니다. 카지노 룰렛(약 950원), 경마(약 750원)보다 낮고, 상업 도박 중 환급률이 가장 낮은 축에 듭니다. 로또의 값은 기대값이 아니라 1,000원으로 일주일 동안 사는 상상에 있습니다. 그렇게 보면 나쁜 거래가 아닙니다.

6. 확률이 ‘안 바뀌는’ 것들

• 자동 vs 수동 — 어떤 조합이든 8,145,060분의 1. 다만 수동은 다른 사람과 겹치기 쉬워 1등 시 당첨금을 나눌 확률이 높습니다. 자동·수동 비교 글에서 자세히 다룹니다.
• 명당 — 판매량이 많아 1등이 자주 나올 뿐, 내 복권의 확률은 그대로입니다. 명당의 진실 참고.
• 오래 안 나온 번호 — 추첨은 매번 독립이라 ‘나올 때가 된’ 번호는 없습니다. 낙수 통계는 참고 재미이지 확률 도구가 아닙니다.
• 연속 번호, 1·2·3·4·5·6 — 다른 조합과 확률이 같습니다. 다만 이런 ‘눈에 띄는’ 조합은 수천 명이 같이 사기 때문에 당첨되면 나눠 갖습니다.

7. 확률이 ‘바뀌는’ 유일한 것: 나눠 갖기

당첨 확률은 못 바꾸지만 당첨금은 바꿀 수 있습니다. 1등 당첨금은 당첨자 수로 나누므로, 남들이 잘 안 고르는 조합일수록 혼자 가져갈 가능성이 큽니다. 사람들은 생일(1~31), 행운의 숫자 7, 대각선·세로줄 패턴에 몰립니다. 32 이상 숫자를 섞고, 용지에서 패턴을 그리지 않는 것만으로도 ‘나눠 갖기’ 확률은 줄어듭니다. 로또퍼스트 커뮤니티 예상수 통계에서 어떤 번호가 몰리는지 볼 수 있습니다.

8. 핵심 요약

• 1등 1/8,145,060 · 2등 1/1,357,510 · 3등 1/35,724 · 4등 1/733 · 5등 1/45
• 1게임으로 어느 등수든 당첨될 확률은 약 2.38%, 거의 전부 5등
• 매주 5게임 50년을 사도 1등 확률은 0.16%
• 세전 기대값은 1,000원당 약 500원, 세후 약 400원
• 확률은 못 바꾸지만 남들과 안 겹치는 조합으로 당첨금은 지킬 수 있다